গাণিতিক আরোহ পদ্ধতি | Math Induction Method in Bangla

যারা বর্তমানে মাধ্যমিক বা উচ্চমাধ্যমিকে সায়েন্সে পড়ছেন এবং উচ্চতর গনিত নিয়েছেন তারা নিশ্চয়ই গাণিতিক আরোহ পদ্ধতির সাথে ইতিমধ্যে পরিচিত হয়েছেন আর না হয়ে থাকলে এখনি হবেন।

 

গাণিতিক আরোহ পদ্ধতি আসলে একটি সমীকরণ কে অভেদ প্রমান করার পদ্ধতি।

এখন আমাদের মনে প্রশ্ন আসতে পারে যে অভেদ কি?

যদি একটি সমীকরণ এর মান, এর মধ্যকার অজ্ঞাত রাশি বা রাশিসমুহের সকল মানের জন্য সত্য হয় তবে তাকে গাণিতিক অভেদ বলে। কি মাথার উপর দিয়ে গেলো? আসলে এইটা কঠিন কিছু না খুব সহজ জিনিস। চলুন একটি উদাহরণ থেকে বোঝা যাক।

(x+y)²  =  x² + 2xy + y²

গণিতীয় আরোহ পদ্ধতি (Mathematical Induction)

গণিতীয় আরোহ পদ্ধতি হল এমন একটি প্রমাণের কৌশল, যা প্রাকৃতিক সংখ্যাসমূহের জন্য কোন একটি সূত্র বা উপপাদ্য সত্য কিনা তা নির্ণয় করতে ব্যবহৃত হয়। এটি মূলত দুটি ধাপে সম্পন্ন করা হয় এবং বিশেষ করে ধারাবাহিক সূত্রগুলোর জন্য খুবই কার্যকর।

আরোহ পদ্ধতির ধাপসমূহ

1. প্রাথমিক ভিত্তি (Base Case): প্রথমে n = 1 অথবা যে কোনও প্রাথমিক মানের জন্য সূত্রটি সত্য কিনা তা পরীক্ষা করা হয়।
2. অনুমান ধাপ (Inductive Hypothesis): ধরা হয় যে n = k এর জন্য সূত্রটি সত্য।
3. অনুমানিক ধাপ (Inductive Step): দেখানো হয় যে n = k+1 এর জন্যও সূত্রটি সত্য হয়, যদি এটি n = k এর জন্য সত্য হয়। এটি নিশ্চিত করে যে সূত্রটি সব প্রাকৃতিক সংখ্যার জন্য বৈধ।

উদাহরণ

আমরা প্রমাণ করবো যে, 1 + 2 + 3 + ... + n = (n(n+1))/2 সকল প্রাকৃতিক সংখ্যা n এর জন্য সত্য।

১ম ধাপ: ভিত্তি নিরূপণ

n = 1 হলে,
1 = (1×(1+1))/2 = 1।
সুতরাং, ভিত্তি ধাপটি সত্য।

২য় ধাপ: অনুমান ধাপ

ধরি, n = k এর জন্য সূত্রটি সত্য, অর্থাৎ,
1 + 2 + ... + k = (k(k+1))/2।

৩য় ধাপ: অনুমানিক ধাপ

এখন, n = k+1 এর জন্য,
1 + 2 + ... + k + (k+1) = (k(k+1))/2 + (k+1)।
= [(k(k+1) + 2(k+1)]/2।
= [(k+1)(k+2)]/2।
যা মূল সূত্রের n = k+1 এর জন্য সঠিক।

গণিতীয় আরোহ পদ্ধতির ব্যবহার

গণিতীয় আরোহ পদ্ধতি কেবলমাত্র যোগ সংক্রান্ত সূত্রের জন্য নয়, বরং বিভিন্ন ক্ষেত্রেও ব্যবহৃত হয়, যেমন:

• বহুপদী সমীকরণ (Polynomial Equations) প্রমাণ করতে।
• গাণিতিক ধারার বৈশিষ্ট্য নির্ধারণে।
• গণিতের বিভিন্ন সমস্যা সমাধানে, যেমন ফিবোনাচ্চি সিরিজের সূত্র প্রমাণ করতে।
• কম্পিউটার অ্যালগরিদম বিশ্লেষণে যেমন রিকারশন ভিত্তিক সমস্যা সমাধানে।

উপসংহার

যেহেতু উভয় ধাপ সম্পন্ন হয়েছে, তাই আমরা বলতে পারি যে 1 + 2 + ... + n = (n(n+1))/2 সকল n এর জন্য সত্য। এটি গণিতীয় অগ্রসর পদ্ধতির একটি সুন্দর প্রয়োগ। গণিতের বিভিন্ন শাখায় এটি একটি গুরুত্বপূর্ণ কৌশল যা সমস্যার সমাধানে অত্যন্ত সহায়ক।

আরও পড়ুনঃ

 ==>  ষষ্ঠ থেকে দশম শ্রেনির কমন অংক মিডিল টার্ম

 ==>  নিজেকে অনুপ্রাণিত বা মটিভেট করার উক্তি সমূহ (Quotes of Motivation)

 ==>  কিভাবে আমরা আমাদের শৈশবের আনন্দ গুলো আবার ফিরে পেতে পারি

==> আঁধার ও আলোর ছোট্ট একটি গল্প | Short Facebook Status